Egy, az Univerzum végességét taglaló baráti beszélgetés alkalmával elhintettem, hogy a matematika azért is szép, mert nem köti a Világegyetem: az Univerzum matematikája (jelenleg az általános relativitás és kvantumelmélet) kontinuum nagy halmazokat és ezen értelmezett függvények miatt a kontinuumnál "eggyel nagyobb" halmazokat használ "mindössze". A matematika azonban nem áll meg ekkora halmazoknál, lásd: A matematika - logikus misztikum. Végtelenek végtelen sorozata ismert.
A barátom megakadt ennek elgondolásában, kérdezvén, hogy az alkotó elemeiben és térfogatában véges agy hogyan képes ilyen nagy végteleneket elgondolni. A kérdés jogos, hiszen elég sokan ismerjük azt a gyerekkori zavart, amikor azon gondolkodtunk hogy ha a Világegyetem véges, akkor mi van "utána"? Ha van utána valami, akkor a világ mégsem véges. Ha meg végtelen, akkor meg "basszus de durva".
Ez a poszt most nem a Világegyetemről szól, azt az irányt most csak annyival zárnám le, hogy a tér egy véges térfogatú önmagába záródó valami, lehetetlen "kimenni" belőle - ilyen értelemben véges. De végtelen is, olyan értelemben, ahogy egy futball-labdának sincs "vége" egy rajta sétáló hangya számára.
Na de visszatérve a végtelenek véges agyban való realizálhatóságának kérdésére: azt tudjuk mondani, hogy akármilyen nagy is legyen egy halmaz, az mindig véges sok algoritmikus lépéssel állítódik elő. Például: vegyük az egyet, majd adjunk hozzá egyet, aztán ahhoz is egyet, aztán ahhoz is egyet, és így tovább. "Végül" megkapjuk a pozitív egész számok halmazát. Nem kell (és nem is lehet) az összes számot fejben tartani, de erre nincs is szükség. Mondjon bárki egy akármekkora számot, rögtön tudjuk mi lesz a rákövetkező. A kulcs tehát a természetes számok halmazának konstrukciójának algoritmizálhatósága véges sok szabály felhasználásával. Másképpen: a pozitív számok sormintája roppant egyszerű.
És ugyanígy: nagyobb halmazokat is algoritmikusan képezünk kisebbekből ún. hatványhalmaz-képzéssel, l. a fentebb citált posztot. Nincs probléma, nem a halmazokat kell észben tartani (ami lehetetlen), hanem a szabályokat, amikkel azokat megkonstruáljuk. A halmaz-sorozatok sormintáját.
Két dolgot még:
1) Ha (és ez egy nagy "ha") a számokat, amiket ilyen egyszerű módon megkonstruáltunk, felruházzuk további tulajdonságokkal, az viszont megnehezítheti a dolgunkat. Vegyünk egy példát. Egy egynél nagyobb számot prímszámnak nevezünk, ha az csak eggyel és önmagával osztható (figyelem: az oszthatóságot definiálni kell, ahhoz meg a szorzás fogalmát!). A prímség egy olyan tulajdonság, aminek bizonyos aspektusait máig nem értjük (lásd mondjuk az ikerprím-sejtést). A prímszámokat csak pár többletszabállyal definiáljuk az összes pozitív számokhoz képest, de ez a pár többletszabály olyan komplikálttá teszi a prímek sormintáját, hogy a maguk teljességében való elképzelésük az emberi agy számára már lehetetlen. Ellentétben azzal, hogy akármekkora számra piszok egyszerű megmondani, hogy mi az eggyel nagyobb, ha mond valaki egy elég nagy prímet, nem tudjuk megmodani hogy mi a rákövetkező prím. Pedig a tök egyszerű pozitív számok puszta részhalmazáról van szó! Általában: több szabály, bonyolultabb sorminta.
2) Úgy száz éve teljesen kifejlett matematikusokat is zavarba ejtett egyfajta végtelen, hasonlóan ahhoz, ahogy minden gyereket az űr végtelenje. Ez a zavarba ejtő végtelen a következő. Az egyre nagyobb halmazok konstrukciójának megvan a jól ismert, fentebb említett módja, a hatványhalmaz-képzés. A halmazok univerzumának minden szeglete bejárható a halmazról a hatványhamazra való átlépéssel... vagy mégsem? Többen észrevették, hogy van értelmes módja a halmazok univerzumának kiterjesztésének. Kiderült, hogy a halmazok szokásos univerzuma körül csak egy sötét függöny van, ami úgy láttatja, mintha nem lenne kívül semmi, de ez a függöny elhúzható. Ami a függöny mögött van, az a bámulatosan nagy halmazok elmélete. Hivatalosabb nevén az elérhetetlen számosságok elmélete, amihez a szokásos matematikát bővíteni kellett újfajta halmazképzési módokkal. A "szokásos" matematika egész jól megvan a függönyön belüli univerzummal, sőt, a hétköznapi életben, biológiában, fizikában, mérnöki tudományokban alkalmazott matematika a kontinuum végtelennel is beéri. De a teljes matematikai univerzum ennél sokkal de sokkal gazdagabb! A "függöny mögötti" elérhetetlen halmazok többféleképpen konstruálhatók, és mindegyik konstrukció egy-egy új elmélethez vezet. Hogy ezen elméletek mögött van-e egy közös nagy egyesített elmélet amely mindezeket egybefogná? Senki se tudja. A függöny mögötti kutakodás még bizonyára évszázadokig fog tartani! Hát nem csodálatos? De igen, az! :)
