Ha már az előző posztban a különböző végtelenekről merengtem, most vázlatosan bemutatom az ún. szürreális számokat. Gyönyörű elmélet (és az eleje nagyon egyszerű).

Láthattátok, hogy a végtelenek sorba rendezhetők: A0,A1,A2,... Ez a sorozat egy kicsit hasonlít a természetes számokhoz. Csakhogy a természetes számok között hatalmas "hézag" van, hiszen mint tudjuk pl. az 1 és 2 számok között végtelen sok további szám van. John Conway neves matematikus eltöprengett azon, hogy vajon az A0,A1,A2,... közötti hézagokat is ki lehetne-e tölteni valamilyen módon. A válasz: igen. Így alkotta meg a szürreális számokat. Ezek a szó klasszikus értelmében is számok, mivel lehet rajtuk a négy alapműveletet értelmezni, sőt gyököt vonni és hatványozni is. Kutatások folynak olyan irányban, hogy lehessen képezni szürreális számok szinuszát például. Vagy lehessen szürreális értékű függvényeket differenciálni, integrálni. Ezek a problémák egyelőre nem megoldottak, ám a kérdéskör rendkívül szép.

És hogy hogyan is kell elképzelni egy szürreális számot? Az a különös egyszerűsége a dolognak, hogy elegendő az üres halmazból kiindulni!

A nullát {|} jelöli. Minden további szürreális számot úgy adunk meg, hogy a | jeltől balra írjuk azokat, melyeknél a mi számunk nagyobb, és jobbra azokat, melyeknél kisebb. Ennél fogva pl. 1 = {0|}, 2 = {1|},...

Kitaláljátok, mi lesz a végtelen? A végtelen minden természetes számnál nagyobb, tehát azokat mind balra kell írni. A végtelent a szürreális számok elméletében ω jelöli, és az előbbi miatt ω = {0,1,2,...|}.

A jobb oldalt még nem aknáztuk ki. Mi lehet vajon {0|1}? "Természetesen" 1/2. {0|1/2}=1/4. (Nem egyharmad!) És a szépség most jön! Mi lesz {0|1/2,1/4,1/8,...}? Ez az a szám kell legyen, mely minden pozitív számnál kisebb, de nullánál nagyobb. Ez a végtelenül kicsi mennyisége, melynek jele ε. Tehát ε = {0|1/2,1/4,1/8,...}. Egyszerű, nem?

Lássunk még egy példát! Mi lesz {0,1,2,...|ω}? Ez minden természetes számnál nagyobb, de ω-nál kisebb. Ez ω-1. (A szürreális számok összeadása garantálja, hogy a jelölés jó, mert ω-1 + 1 = ω. De a műveletekre nem térek ki.)

Hagyok egy kis gondolkodnivalót. Mi lehet szerintetek {1/2|1}?