A Hova konvergálnak a természettudományok című posztomban a természettudományok végső fejlettségi fokával kapcsolatos kérdéseket feszegettem. A kérdés adódik: hova konvergál az a bizonyos tudomány, amely oly' speciális helyet foglal el a természettudományok között (ha egyáltalán az): a matematika.

Hogy a matematika természettudomány-e, arról már írtam itt, most újabb megfontolások következnek. A poszt kérdésének megválaszolásához ezekre szükség lesz. Néhány példát fogok ugyanis felhozni arra, hogy a matematika sok esetben nem a természet megfigyelésével párhuzamosan, azzal karöltve fejlődik - hanem attól totálisan függetlenül. Épp ezért nem húzható rá a matematikára az, amit a természettudományok konvergenciájáról írtam.

A matematikusokat sok esetben bizony nem is érdekli a természet ugyanis gyakran konstruálnak olyan objektumokat, amelyeket nem a fizikai világból szerzett, empirikus tapasztalatok motiválnak, hanem egy másik absztrakt objektum jobb megismerése. Jöjjön néhány példa.

1) Az egyenletek (ezek ugyebár absztrakt objektumok, nem székek vagy növények, amik "odakint" vannak a fizikai világban) megoldhatóságának vizsgálata azt sugallta a matematikusoknak, hogy érdemes egy csoportnak nevezett objektumot definiálni, ami alkalmas arra, hogy az egyenletek megoldhatóságát sikeresen lehessen tesztelni. Egy 21(!) éves matematikus, Évariste Galois az 1800-as évek elején lefektette egy új elmélet, a csoportelmélet alapjait. És ezzel egyszer és mindenkorra adott egy tesztet arra, hogy mikor oldható meg egy-egy algebrai egyenlet. Később, láss csodát, kiderült, hogy a csoportelmélet kiválóan alkalmas kvantumfizikai rendszerek tanulmányozására, és kristályok szerkezetének leírására is. Ma már vegyészek és fémek szerkezetével foglalkozó mérnökök is tanulnak csoportelméletet az egyetemen. Egyes fizikusok pedig meg sem tudnának mozdulni nélküle.

2) Az 1800-as években dolgozták ki Gauss és kortársai a görbült terek elméletét. Céljuk ezzel "mindössze" az volt, hogy nem sík alakzatokon (pl. gömbön) is tudjanak geometriát művelni (háromszögeket definiálni gömbön stb.). Később Einstein rájött, hogy a fizikai tér és idő nem sík, hanem görbült. Hatalmas szerencséjére matematikus elődei addigra kidolgoztak minden szükséges matematikai apparátust (hangsúlyozom: nem fizikai okokból!), hogy ő, fizikusként, felállíthassa a téridő egyenleteit. (Ezek megmondják, hogy milyen geometriai alakja van a térnek és időnek tömeg jelenlétében. Számomra ez a modern tudomány csúcspontja...)

3) A huszadik század elején David Hilbert bevezette a Hilbert tér fogalmát, mert számos elméleti matematikai alkalmazás "kikényszerítette" azt. A Hilbert tér nem más, mint a sík (két dimenzió), a tér (három dimenzió) stb. egységes kezelésére hivatott objektum (egészen végtelen dimenzióig). És, már nem fogunk meglepődni, kiderült, hogy a Hilbert terek elmélete sikeresen alkalmazható a fizikában: a kvantummechanika matematikai megalapozásának elengedhetetlen kelléke.

Nem lenne azonban teljes a kép, ha nem említeném meg, hogy gyakran azért a fordított szituáció is megesik: a világ megismerésére irányuló erőfeszítések kényszerítenek ki új matematikai fogalmakat. Newton a mozgás tanulmányozásához vezette be a differenciálszámítást. Vagy hogy modernebb példát említsek: alapvetően a fizika motiválta a fraktálgeometriát (fractal, azaz tört, nem egész dimenziójú terek vizsgálatát).

Van ám azonban számos matematikai objektum, aminek nincs fizikai megfelelője, alkalmazási terepe. Sőt, azt hiszem, ezekből jóval-jóval több van, mint alkalmazottból. (Ezekről később persze kiderülhet, hogy gyakorlati szempontból is fontosak, mint korábban a csoportokról, Hilbert terekről.)

Összefoglalóan azt mondanám, hogy a matematika fejlődésének megvan a maga belső természete, ami minden empíriától független. Elég bizonyíték erre az, hogy sok matematikusnak lövése sincs a fizikáról vagy bármely más, természetet tanulmányozó tudományról - mégis eredményes matematikusok tudnak lenni. Másfelől - és ez éppolyan fontos - a matematika a Természet vizsgálata nélkül nem lenne az, ami.

Nem tudok olyan nem kaotikus világot elképzelni, amit ne matematikával kellene leírni. Ilyen értelemben a matematika elsődleges. Ha egy ilyen világ egyik matematika-könyvébe bepillantanánk (eltekintve a nyelvi nehézségektől), bizonyosan felismernénk, hogy igen, ez matematika.

Hogy mi minden lehetséges világok matematikájának közös alapja? A logikai következtetés. (Minden más lehet teljesen más világról világra, de ez nem.)

Így hogy már van némi képünk a matematika fejlődéséről, jöhet a konvergencia kérdése. De nem most, most megyek aludni.