Az elmúlt időben sok szubjektív poszt volt, és sok hülyéskedés. Itt az ideje "komolyra" fordítani a szót. Ebben a posztban néhány szuper nagy "számról" lesz szó, amit a matematikusok is csak kicsit több mint fél évszázada ismernek.
Az ordinális számok definíciójával kell kezdenem. A nulladik ordinális a 0 szám, az első az 1, és így tovább. Tehát a véges ordinálisok a nemnegatív egész számok. Ezeket a számokat sorba lehet állítani, pl. 4<37. Ezt úgy mondjuk, hogy létezik rendezés a nemnegatív egész számokon.
Nos, az így sorba állított véges ordinálisok összessége már nem véges, hiszen végtelen sok véges ordinális szám van. Ezeket egybezárjuk, így kapunk egy halmazt, amit később egyetlen elemként, számként kezelünk. Ez a szám az első végtelen ordinális, jele ω (omega).
A következő lépés kulcsfontosságú. Hogyan tudunk ω-nál nagyobb számot (ordinálist) definiálni? Úgy, hogy veszünk egy szimbólumot, és azt mondjuk, hogy ez egy olyan "számot" jelöl, ami nagyobb minden nemnegatív egész számnál. Pl. legyen ez az új szám 1' (egy vessző). Vagyis 1' > n minden n egész számra. Most készítünk egy halmazt, ami tartalmazza ω-t és 1'-t. Ez lesz ω+1, amit a későbbiekben számként kezelünk; ez egy olyan szám, ami eggyel nagyobb a már végtelen ω-nál.
Annak feltételezésével, hogy 2' egy olyan szimbólum, ami nagyobb, mint 1', nyerhetjük ω+2-t, és így tovább, jön ω+3, ω+4,... A lépéssor végén eljutunk egy "duplán végtelen" számhoz (ami egyben halmaz is!), amit 2ω-val szokás jelölni. A fentiek okán nem csak azt tudjuk, hogy 4<37, de az is igaz, hogy ω+4<ω+37. Vagy éppen ω+43578<2ω.
Hasonló gondolatmenettel látható, hogy 2ω után 2ω+1 jön, ami után 2ω+2, s.í.t. Egészen... na meddig? 3ω-ig (ami 3 szor az első végtelen). Utána jön 3ω+1, 3ω+2... Később előáll 4ω, 5ω, 6ω is egészen addig, amíg végtelenszer végtelenig el nem jutunk. Ez lesz az ω*ω=ω² jelű szám. Az olvasó nem lepődik már meg, ha folytatjuk: ω² után ω²+1 jön, utána ω²+2 egészen ω²+ω-ig. Hasonlóan, ω²+ω+1 után ω²+ω+2, s.í.t. ω²+2ω-ig.
Rövid úton látszik, hogy elérhetünk ω³-ig, és még magasabb hatványokig. A folyamat végén ωω lesz. Ha a fenti folyamatot elejétől a végéig végigvisszük ezzel ez új számmal, (ωω)ω lesz az eredmény. Mindezek után kicsit tovább dolgozva megkapjuk azt a nevezetes számot, ami úgy jön létre, hogy ω-t az ω-adik hatványra emelve azt az ω hatványra emeljük, azt az ω hatványra, és így tovább a végtelenig. Ez a szám ε0 lesz. Ez egy hihetetlenül nagy szám, végtelenül nagyobb mint ω abban az értelemben, hogy a kettő között végtelen sok szám (ordinális) van! (A hagyományos számoktól, mint a 6434 vagy pi való megkülönböztetésül ezeket már nem számnak, hanem ordinálisnak nevezzük.) Természetesen tovább lehet menni, és ε0 után ε0 +1 -et megszerkeszteni satöbbi. Végül jön ε1. Az alsó indexbe újabb lépések megtétele után 2, 3, 4,... végül ω írható: εω. Majd még nagyobb számok következnek, szakadatlanul, újabb végtelenek felé.
A következőt fontos látni. Csak egyetlen lépésünk volt: egy ordinálisból eggyel nagyobb ordinálist konstruálni. Igaz, ezt a lépést végtelenszer hajtottuk végre. Ezt a típusú konstrukciót úgy nevezik, hogy rekurzió. A rekurzió (rekurzív definíció) azért fontos, mert ezzel nem csak az ember(i agy), de a számítógép is tud mit kezdeni. Noha ω vagy ε0 hihetetlenül nagy számok, egy számítógép is össze tudja őket hasonlítani, ha jól be van programozva. Sok matematikus eleve csak ilyen definíciót fogad el.
Feferman és Schütte voltak azok, aki talán először ismerték fel, hogy a fenti konstrukcióval egyszerűen nem kapható meg minden definiálható ordinális. Az ok a következő: bizonyíthatóan létezik nem megszámlálható ordinális (ezt úgy lehetne mondani, hogy minőségileg nagyobb, mint a fentiek), aminek a jele ω1. A konstrukciójáról az itt található poszt alatti kommentekben lehet olvasni. Márpedig ha összegyűjtjük az összes fentebb konstruált ordinálist, és az összes olyat, amelyet a fenti módszerrel még meg lehet konstruálni, akkor egy még mindig olyan halmazt kapunk, ami méretét tekintve kisebb, mint az első nem megszámlálható ordinális (ami halmaz is egyben, ugyebár). Így hát - mondja Feferman és Schütte -, létezik rekurzívan nem definiálható ordinális szám. Ez szuper-szuper nagy szám, aminek a rekurzív (!) megalkotására semmilyen elvi lehetőség sincs! Az első ilyen nagyon nagy számot (mert több is van) Feferman-Schütte ordinálisnak nevezik. A jele Γ0.
Fontos megjegyezni, hogy a Feferman-Schütte ordinálisnál lényegesen nagyobb számok (ordinálisok) is bőven vannak, de azokat nem rekurzívan tudjuk csak definiálni, így elfogadhatósági problémákba ütközhetünk. Ráadásul semmilyen számítógépen nem tudjuk ezeket kezelni, ami gyakorlati szempontból is lehet hátrány.
Még egy indok, ami jól mutatja a Feferman-Schütte ordinális körüli konstrukciós problematikát: a véges ordinálisok (amik gyakorlatilag a hagyományos egész számok) leírásához elég volt 10 számjegy. Utána kellett egy új szimbólum, ω. Majd - igaz, csak végtelen sok újabb lépés után - újabb szimbólumra volt szükségünk, hogy le tudjuk írni ε0-at. Újabb lépések után elérkeznénk oda, hogy konstruáltunk egy sokkal-sokkal nagyobb számot, mint ez, de választani kell hozzá szimbólumot, hogy le tudjuk írni... Egy idő után kifutnánk a görög ábécéből, és hiába használnánk fel a latint, majd a hébert stb, ezek a betűk is elfogynának. És ha még alkottunk is újabb szimbólumokat valamilyen algoritmussal (pl. pálcikákat, köröket, répát és krumplit rakosgatnánk sorba) előbb-utóbb azok is elfogynának. Mivel van rendezés az ordinálisokon (l. fentebb), kijelenthető, hogy van legkisebb olyan ordinális, amit semmilyen módon nem tudunk leírni a fenti módon (algoritmussal). Ez lesz a Feferman-Schütte ordinális. Egy megszerkeszthetetlen, de bizonyítottan létező nagyon-nagy szám.
Szép, nem?
És végül egy fejtörő: azt írtam, hogy hamarabb futunk ki minden lehetséges (természetes nyelvi és mesterséges) ábécéből, minthogy megkonstruálhatnánk és eljelölhetnénk a Feferman-Schütte ordinálist. Azonban ennek mégis van jele, Γ0. Nem ellentmondás ez?
