Arról elég sokat hallani, hogy a fizikában különböző krízisek ("válságok") léptek fel az évszázadok folyamán. Ez volt a helyzet például, amikor a Michelson-Morley kísérletet elvégezték, vagy az abszolút fekete test sugárzási spektrumát vizsgálták. Előbbi és utóbbi sem volt magyarázható az addig ismert fizikával. A korrekt választ a newtoni fizika helyébe lépő relativitáselmélet és kvantumelmélet adta meg. Ezek a forradalmi elméletek "elsöpörték" az addigi ismereteket, és visszavonhatatlanul a helyükbe léptek. (Pontosabb lenne azt mondani, hogy nem elsöpörték, csak megszabták a régi elméletek érvényességi küszöbét: a newtoni mechanika a nem túl parányi és nem túl gyors testek mozgásának leírására ma is érvényes.)

Ebben a posztban arról szeretnék írni, hogy a matematikában is voltak hasonló krízisek. Ám a matematika valamiért sokakból berzenkedést vált ki, nem olyan "népszerű", ezért kevesebb szó esik ezekről a kérdésekről, szerényebb ezek irodalma is. Pedig a tudomány fejlődésének mikéntje jól láttatható ezen problémákon keresztül is.

1) Irracionális számok

Az egyik legkorábbi "válság" akkor érte a matematikusokat, amikor felismerték, hogy nem minden szám racionális. Addig természetesnek vélték, hogy minden szám és mért érték kifejezhető arányokkal (másképpen racionális). Elég az egységet (az 1 számot) tekinteni, valahányszor összeadni, és egy másik hasonló számmal arányba állítani (azaz elosztani). Ezzel az eljárással minden pozitív szám megkapható - gondolták. Ám a pitagoraszi iskola egyik tagja bebizonyította, hogy az a pozitív szám, amelyet négyzetre emelve kettőt kapunk (tehát a gyök kettő) nem fejezhető ki arányokkal, azaz nem racionális szám. Úgy hírlik, ez megdöbbentette az akkoriakat.

Kiderült hát, hogy az addig ismert számfogalom elégtelen "az összes szám" befogadására. A matematikusok kénytelenek voltak újraértelmezni a szám fogalmát. Ez olyannyira jól sikerült (több lépésben az évezredek folyamán), hogy a matematikusok ma már nem csak arányba nem állítható (irracionális) számokkal képesek számolni, hanem a végtelen kicsi és végtelen nagy mennyiségekkel való szabatos számítás sem okoz gondot. (Lehet például különböző nagyságú végteleneket összeadni, szorozni, hatványozni, sőt, még a szinuszaikat stb. is ki lehet számolni!) Más irányú számfogalom-bővítések is vannak.

Mára az is világos a matematikusok előtt, hogy majdnem minden szám irracionális, vagyis pont a racionálisak a ritkák.

2) Russell paradoxona

Bertrand Russell filozófus-matematikus 1901-ben - nem is bonyolult módon - megmutatta, hogy a matematika alapjának tekintett halmazelmélet egyszerűen hibás, önellentmondó. Ahhoz, hogy ezt megértsük, szükség van a következő szemléltető példára.

Tekintsük a síkot és azon az összes lehetséges pontsokaságot (négyzeteket, köröket és mindenféle egyéb kriksz-krakszot is). Vegyük ezen pontsokaságok közül a négyzeteket és tegyük bele őket egy halmazba. Mivel az így keletkező halmazbeli négyzetek pontjainak összessége bizonyosan nem egy négyzet, az eredmény halmaz nem lesz benne saját magában (mivel az csak a négyzeteket tartalmazza). (Eddig okés?:))
Másfelől, ha az összes nem-négyzet pontsokaságot vesszük és ezeket egy másik halmazba tesszük, akkor az eredmény halmaz sem lesz négyzet, ezért ez az újabb halmaz viszont már tartalmazni fogja saját magát (mivel a nem-négyzeteket tartalmazza)!

Általánosságban, azokat a halmazokat, melyek nem tartalmazzák saját magukat elemként, nem tartalmazkodó halmazoknak nevezzük. Azok a halmazok, melyek saját magukat tartalmazzák, a tartalmazkodó halmazok. (Ez a példánknál maradva azt jelenti, hogy az összes négyzetek halmaza nem tartalmazkodó, a másik viszont igen.)

Russell gondolatmenete a következő volt: tekintsük az összes nem tartalmazkodó halmazok halmazát. Ez vajon tartalmazkodó-e vagy sem? Rövid úton kiderül, hogy egyik sem lehetséges.

Ha tartalmazkodó lenne, az azt jelentené, hogy saját magát tartalmazza, de ez nem lehet, mivel az elemei nem tartalmazkodó halmazok.

Ha azonban nem tartalmazkodó lenne, akkor persze benne lenne saját magában, ez pedig azt jelentené, hogy mégiscsak tartalmazkodó. És ez szintén ellentmondás.

Egyik alternatíva sem lehetséges tehát. Hol a baj? A baj ott van, hogy az összes nem tartalmazkodó halmazok halmaza nem egy "létező" objektum. Az abban az időben használt (ún. naiv) halmazelmélet nem zárja ki az ilyen halmazok létezését illetve az erről való beszédet (állítások megtételét). Ez pedig azt vonja maga után, hogy olyan képtelenségek fordulhatnak elő, mint a fenti. Russell ezzel rámutatott, hogy a matematika abban az állapotában komoly problémákat rejt.

Ezt a problémát az 1900-as évek elején tudta kiküszöbölni E. Zermelo és A. Fraenkel úgy, hogy szigorú logikai alapokra helyezte a halmazelméletet. Ezt úgy mondjuk, hogy axiomatizálás. Minden, amit az axiómák (alapállítások) segítségével be tudunk bizonyítani és meg tudunk konstruálni, az rendben van. Amit nem, arról pedig nem áll jogunkban beszélni (az elmélet keretein belül).

De hogy küszöbölődik ki Russell paradoxona? Az új, Zermelo-Fraenkel-féle halmazelméletben az üres halmazból fokozatosan haladva állítjuk elő az egyre nagyobb és nagyobb halmazokat. Mivel ezen nagyobb halmazok tehát kisebbekből állnak elő lépésről lépésre, nem tudjuk azt megtenni, hogy ugrunk egy óriásit, és előhúzzuk a kalapból az összes halmazok halmazát. Az összes halmazok halmaza nevű képződmény nem létezik (nem konstruálható ilyen). Ezzel tehát Russell paradoxona kiküszöbölődött.

Egy magyar vonatkozás: az üres halmazból előálló "lépcsős" halmazsokaságot (amely elegendő minden gyakorlati matematikai problémához, bár néhány "túl szofisztikált" gondolkodású matematikus elmélkedik más lehetőségeken) Von Neumann univerzumnak nevezzük, Neumann János tiszteletére - aki bevezette ezt a konstrukciót.

Figyeljük meg: a fenti két válság ellentétes módon oldódott meg. Az első úgy, hogy a számfogalom kiterjesztődött, a másik pedig restriktív módon, bizonyos, problémákat okozó objektumok száműzésével.

Folyt. köv.