Az előző poszt kérdésére a válasz: 75%-os a valószínűség.
Hogy kicsit másfelől is megközelítsük az előző problémát - és éreztessem, hogy a felszín alatt komoly problémák húzódnak meg - egy kis közbevetést kell tennem:
A valós számok folytonosan (hézagmentesen) sorakoznak egymás mellett: két különböző valós szám között végtelen sok további valós szám van. A valós szám fogalma (gondoljatok a Pi-re vagy a gyök kettőre) nem valami olyan, ami csak úgy a szemünk előtt hever, mint mondjuk a természetes számok: 1,2,3. A valós számokat külön meg kell konstruálni, és nem is annyira egyszerű. Szabatos definíciója csak Richard Dedekind (1831-1916, német matematikus) munkássága révén alakult ki.
A még könnyen befogadható racionális számok két egész szám hányadosai: 1/2, 5/7 stb. Csakhogy ezek "kevesen" vannak a nem racionális valós számokhoz képest. Végtelen sokan vannak ugyan, de mégis jóval kevesebben mint az utóbbiak. Ezt úgy lehet kifejezni, hogy mondjuk összegyűjtjük a 0 és 1 közötti valós számokat. Akkor ennek a szakasznak a hossza 1 lesz, ugyebár. Ha ezen belül a racionális számokat tekintjük, akkor velük egyáltalán nem lehet szakaszhoz jutni, mert akárhogyan is sűrítenénk őket, az általuk nyert "szakasz" hossza nulla lenne. (Ez nem egyszerű dolog, Henri Lebesgue (1875-1945 francia matematikus) munkásságáig ez nem volt bizonyítva.)
A nem racionális valós számokat irracionálisaknak nevezzük.
Ezek után térjünk vissza az előző posztbeli kísérletre.
A valószínűségszámítás hagyományos megfogalmazásaiban az előző poszt feladatát a valós számokra vonatkozóan lehet megoldani. Ezek és a fentiek miatt ha arra kérnénk a kísérleti alanyainkat, hogy racionális számokat mondjanak csak, a keresett valószínűség NULLA lenne! Ez különösen fontos a továbbiak szempontjából.
Ha a kísérleti alanyokat arra akarjuk kérni, hogy véletlen valós számokat konstruáljanak, akkor valójában nagyon nehéz dolgot kérünk tőlük. Sőt, (itt a hangsúly!) gyakorlati szempontból lehetetlent kérünk tőlük. Az előző bekezdés alapján ugyanis - ha a valószínűségelmélet bevett modelljeit vesszük alapul - irracionális számokat is kell mondaniuk.
Mi kell egy irracionális szám konstruálásához? Valamilyen szabályrendszert kell alkotni például arra, hogy hogyan kapjuk meg a számjegyeit. Vagy előállítjuk a számot valamilyen speciális függvény értékeként stb. Vehetjük például a gyök kettőt. A gyök kettő a szinusz függvény 45 foknál felvett értékének a kétszerese (ugye?!). A szinusz értékeket előállíthatjuk racionális számok összegeként.
Tehát a lényeg, hogy valamilyen szabályt vagy szabálysorozatot adunk meg ilyenkor. Csakhogy irracionális számot végtelen sok számjegy ír csak le pontosan. Erre valamikor a blog indulása körüli posztban írtam már, hogy véges világegyetemben ez nem pusztán problematikus: keresztülvihetetlen.
Másrészt nem csak arról van szó, hogy sok végtelen számjegyű számot kell konstruálni, hanem arról is, hogy véletlenszerűen. De hogyan teljesítjük a véletlen kívánalmát?
Ha valamit szabályokkal alkotunk meg, már nem tekinthetjük véletlennek. Legfeljebb akkor, ha a szabály előttünk nem ismert. Ilyenkor azonban a szabály elvben feltárható. (Gondoljunk a titkosításra. Ha nem ismerjük a kulcsot, halandzsa szöveget látunk csak.)
Tehát azt látjuk, hogy szerencsétlen kísérleti alanyainknak úgy kell szabályosan viselkedni, hogy közben a lehető legszabálytalanabbul viselkednek.
Nincs olyan elméleti szempontból kielégítő eljárás, mely garantálhatná a véletlenszerűséget. Arra a következtetésre kell jutnunk, hogy a fenti kísérlet mögött olyan hallgatólagos elvárások vannak, amelyek elvi (és gyakorlati!) kielégítése a véges természetben egyszerűen nem teljesíthető.
Úgyhogy a másik - számomra sokkal tetszetősebb:) - válasz a kérdésre: ne szórakozz, ez egy hülye kísérlet! :)
(Vannak gyakorlati szempontból többé kevésbé kielégítő véletlenszám-generátorok, de erről egy következő posztban szólok majd.)
