Volt egy kisebb krízis akkor is - legalábbis bizonyos beállítódású matematikusok körében -, amikor egyes matematikusok olyan függvényeket konstruáltak, amik minden "ésszerűség alól kilógtak". Hogy egy példát felhozzak, képzeljünk magunk elé egy függvényt, mondjuk egy parabolát. A ceruzánkat - legalábbis gondolatban - fektessük rá a parabola egy pontjára érintőlegesen és mozgassuk úgy, hogy a ceruza végig érintőleges maradjon a parabolára. Azt "érezzük", hogy a ceruza szépen simán - törés nélkül - siklik a parabolán. Az ilyen görbét úgy nevezzük, hogy differenciálható.

Ha nem sima görbét akarunk látni, képzeljük el a jó öreg középsulis (vagy áltsulis, ki emlékszik már?!) abszolútérték függvényt, ami egy "V" alakú görbe. Ha ezen csúsztatjuk a ceruzánkat, akkor az, mint az előbb, simán mozog a görbe mentén, sőt, az iránya még csak nem is változik. Egészen addig, míg a "V" alak alját el nem érjük. Jobbról balra vagy balról jobbra csak úgy tudunk ezen a ponton továbbjutni, ha a ceruza irányát megtörjük. Azt mondjuk, hogy ebben a pontban a görbe nem differenciálható.

Azonban mindkét görbe folytonos, nem szakad el sehol. A matematikusok sokáig úgy gondolták, hogy a folytonos függvények bizonyos értelemben mindig "szépek". Ez azt jelenti, hogy az csak kivételes pontokban, ritkán fordul elő, hogy nem differenciálhatóak, vagyis a ceruza törést szenved rajtuk mozgás közben.

És most jön a kritikus pont. 1872-ben Karl Weierstrass megmutatta, hogy van olyan függvény, amely sehol sem differenciálható, noha folytonos. Másképpen szólva, a ceruzát a függvény egyetlen pontjából sem tudjuk tovább mozgatni úgy, hogy az iránya törést ne szenvedne. Sőt, a ceruzát már rá sem tudjuk fektetni a görbére, mert a görbének egyetlen pontban sincs érintője! Másképpen fogalmazva, a görbe "maximálisan töredezett". Egy ilyet le sem lehet rajzolni, mivel rajzoláskor a ceruzát szeretjük simán siklatni a papíron. Itt egy kép (ami az előbbiek miatt csak közelítése az "elméleti alaknak").

Ha ezt nem tudjátok elképzelni, az nem baj. Én sem tudok ilyen görbét könnyen magam előtt "látni". Mindenesetre Weierstrass megmutatta, hogy létezik. Ezzel alaposan fel is kavarta a függvényelmélet állóvizét. Jól jellemzi a helyzetet két tekintélyes matematikus hozzáállása:

Régebben, ha felfedeztek valamit, ezt gyakorlati célból tették, de manapság csak azért találják ki ezeket az új függvényeket, hogy atyáink következtetéseire rácáfoljanak. (Henri Poincaré)

Poincaré a legnagyobb matematikusok között volt, de a "lelki szemei" őt is megcsalták. Nála még radikálisabb véleményen volt Hermite:

Rémülettel, borzalommal fordulok el ettől a siralmas fekélytől: függvények, amelyeknek nincs deriváltjuk! (Charles Hermite)

Hermite és Poincaré is a függvény "mentális képéből" indult ki, amely, mint Weierstrass megmutatta, teljesen csalóka.

Hogy hogyan oldódott fel ez a "probléma"? (Azért használok idézőjelet, mert a fenti krízis nem a matematika krízise, hanem az embernek a tiszta matematikai fogalmakról alkotott elképzeléseinek krízise. Sajnos elkövetjük azt a hibát, hogy a szemléletünkre hagyatkozva engedjük magunkat megcsalni.) Úgy, hogy a matematikusok tisztázták - azaz egyszer és mindenkorra definiálták - a függvény fogalmát. A laikus azt hihetné, hogy a matematikusok mindig is tökéletesen preciz fogalmakkal dolgoztak. Ám csak a huszadik századra sikerült a matematikát "megtisztítani" az efféle pontatlanságoktól.

Mint az irracionális számok esetében is, most is az derült ki, hogy valójában majdnem minden függvény olyan, mint a Weierstrass által definiált patologikusnak tartott függvény. Vagyis éppen a Poincaré és Hermite által elképzelt függvények a ritkák!